湖南省衡阳县第二中学 张梦姣
摘 要：在每一年的高考试卷中，解析几何的综合问题作为重要考点，无疑是压轴题之一，当然也是一个热点问题。纵观近几年的高考真题，圆锥曲线考查的重点对很多学生来说都是一大难题，究其原因有三点：难想；即题目的思路难以想到，难消；设定的变量难以消除，难算；即验证的结论难以算对。针对这三个难点，本文通过几个典型的例题探究来阐述解题策略。
关键词：圆锥曲线 综合问题 解题策略
圆锥曲线在每一年的高考中主要是以解答题的形式出现，一般来说，涉及到分类讨论、数形结合、函数与方程等数学思想的考查。对于解决圆锥曲线的综合问题，有5个方面需要注意：（1）将定义的作用重视化；比如例1的解答，需要我们回归定义，整体思考，从而简洁方便的求出所求曲线的方程。（2）注意运用平面几何知识简化解题；比如例2，我们通过结合了变量与方程的关系，再利用几何信息来解题，大大地减少了我们的运算，为我们的解答带来了方便。（3）重视韦达定理、根与系数的关系以及“设而不求”对我们解题的帮助；比如例4和例5，利用韦达定理的根与系数的关系，顺利解决圆锥曲线中的运算问题，从而让题目变得简单。（4）注意将圆锥曲线的几何特征与方程代数进行联立思考；（5）注意发挥参数方程、设点法的解题作用。
一、回归定义，整体思考
例1：已知圆
：与圆：的公共点的轨迹为曲线E，求该曲线的方程。
解：设点P为公共点，则，，
∴，所以P点的轨迹为椭圆，
故2a=4,所以a=2,又c=1,所以，
则曲线方程为.
总结：对于圆锥曲线综合问题中求曲线方程问题，有时需要我们回归定义，整体思考，从而简洁方便的求出曲线方程。
二、灵活引参，简化运算
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（1）
（2）求证：APOM;
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解：（1）.
要想解决（2）、（3）两问，我们需要哪些条件？（P,M坐标）
思路1：设（当不存在时需要我们单独考虑）
由 得：
因为，所以
所以，
易知得，，
所以APOM.
思路2：设，设
由 得：
因为，所以
所以.
思考1：设，则，
由 得
所以.
总结：引入两个变量,通过整体思想，从而简化运算。
思考2：设，则，再设
则
所以.
总结：灵活利用变量与方程的关系，再结合几何信息，从而简化运算。
三、灵活构造，整体呈现
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解：思路1：（常规，有点运算量）
当存在时，可设，
联立方程组，
根据韦达定理可得.
思路2：（换种形式构造，运算量减少）当存在时，由得.
总结：解决圆锥曲线综合相关问题，我们通常会联立方程组，对方程化简，再应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题，但这种常规方法运算量比较大，对于本题来说，我们灵活构造，由，最后整体呈现，从而简化运算，让圆锥曲线综合问题中的运算问题得到了很好地解决。
三、转化对称，韦达定理
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解：当存在时，设，
由得：
所以
所以
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解：设
由，可得
从而有，即，化简得：
因为直线L经过点，所以可以假设直线L的方程为：
把直线方程与抛物线C的方程联立得：，
故.
而，
即，解得：或-1，
故所求的斜率为或.
总结：根据对称性设出A,B两点坐标，利用向量等式，写出坐标之间的关系，联立方程组，再利用根与系数，从而简化运算。
小结：圆锥曲线中的综合问题是高考命题的热点问题，也是难点问题，要想解决这一难点问题就需要我们解决直线与圆锥曲线的位置关系的问题，而想要解决这类综合问题的关键就是简化运算，我们可以通过重视定义；重视平面几何知识；重视韦达定理、根与系数的关系；重视曲线的几何特征，方程的代数特征，他们两者之间的统一；重视设点法、参数及参数方程求解圆锥曲线综合问题，使运算得到简化，需要我们做题前学会预判，能够大胆设点、设参，合理的选择、联系我们所学的相关知识，最终能从根本上优化圆锥曲线综合问题中的运算。
参考文献：
[1] 韩文美,陆维香.全国高考圆锥曲线命题规律研究[J].教学考试,2017(20)
[2] 宋申霞. MM学习运用于小组合作学习[D].江西师范大学,2011
[3] 魏成年.圆锥曲线中范围问题的求解策略[J].数理化解题研究,2020(19)
