——以双曲线概念形成为例
湖南省常德市第七中学 肖雄飞
摘 要：概念形成是概念学习的一种方式。数学教师在带领学生形成数学概念过程中经常遇到的难题是如何让学生经历观察、分析后比较容易地发现数学概念所反映的对象内隐的本质与特征，从而自然地形成数学概念。本文以双曲线概念形成为例，介绍如何利用信息技术，轻松化解数学概念形成过程中的难题。
关键词：信息技术 化解 数学概念形成 难题
数学概念是人类对现实世界空间形式和数量关系的概括反映，是建立数学法则、公式、定理的基础，也是运算、推理、判断和证明的基石，更是数学思维、交流的工具。数学概念反映数学对象的本质属性。如果数学概念没掌握好，就不可能理解相关的数学公式、定理、法则，数学概念是数学基础知识的基础。
数学概念的学习方式有两种：概念形成和概念同化。数学概念的形成是指人们对一类数学对象中若干不同的例子进行反复的感知、分析、比较、抽象、归纳概括出这类数学对象的本质属性而获得概念的方式。数学概念的同化，是指利用数学认知结构的已有概念，与新概念建立联系，从而掌握新概念的本质属性来掌握新数学概念的方法。有些概念的学习更适合用概念同化的方式进行，而有些概念的学习则更适合用概念形成的方式进行。一些数学概念如果不通过概念形成的方式进行学习，学生就不能真正发现、掌握该概念反映的数学对象的本质属性和特征。像椭圆、双曲线、抛物线这一类数学概念的学习就是如此。而这一类数学概念形成过程中最大的难题就是如何让学生经历观察、分析后比较容易地发现数学概念所反映的数学对象内隐的本质与特征。本文笔者就以椭圆、双曲线、抛物线这三个概念中最难掌握的双曲线为例，介绍如何利用信息技术，轻松化解数学概念形成中的难题。
一、画图
利用几何画板软件，画定点F1、F2，以F1为圆心画圆，当然圆F1的半径
。在圆F1上找任意一点D，过D、F1作直线，作线段DF2的中垂线。当直线与直线不平行时则交于点P。当点D在圆周上运动时带动P点运动。如图1所示。
图1
二、动态演示
利用几何画板的动态演示功能，演示P点的运动轨迹，让学生观察双曲线图形的生成过程。演示情况如图2、图3所示。
图2 图3
三、分析
利用几何画板动态演示P点的运动轨迹，得到两条曲线后，教师要及时指出，由这两条曲线组成的图形就是双曲线，让学生对双曲线的形状有一个直观的感知，让学生明白双曲线就是点的运动轨迹，是平面图形。然后结合图2、图3引导学生发现双曲线上任意一点P到两定点F1、F2的距离的差的绝对值是同一个常数，且这个常数大于零、小于。
如图2所示，当P点在双曲线的左支上时，。
即
①
如图3所示，当P点在双曲线的右支上时，。
即
②
综合①②可得。
经过上述分析，我们发现双曲线的本质是平面内点的轨迹，双曲线上所有点的共同特征是这些点到平面内两定点F1、F2的距离的差的绝对值是同一个大于零且小于的常数，据此就可引导学生归纳出双曲线这一数学概念了。
四、概念形成
经过观察、分析，学生已经知道了双曲线的本质及双曲线上所有点的共同特征，此时可引导学生归纳概括出双曲线的概念：一般地，我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线。
在双曲线这一概念的形成过程中，利用信息技术动态演示双曲线这一图形的形成过程，既形象直观，又生动；再结合图象加以分析，学生比较轻松地掌握了双曲线上所有点的共同特征及双曲线的本质，为概念的自然形成奠定了坚实基础。信息技术的使用使本来枯燥、抽象、难懂的概念教学变得有趣、形象生动和容易，收到了良好的教学效果。当然在引导学生归纳出双曲线这一概念后，教师还要适当拓展，让学生思考“当平面内任意一点P到两定点F1、F2的距离的差的绝对值大于或等于时，该点的轨迹又是什么图形呢。然后加以启发引导，在教师的帮助下解决这一问题，从而使学生对双曲线这一概念有了更加深入的认识。
数学教师在数学概念教学过程中，根据需要恰到好处地使用信息技术，会收到意想不到的教学效果。
参考文献：
[1] 聂东明.数学新课程教学论[M].南京：南京大学出版社，2011
[2] 冯虹，王光明，岳宝霞.新理念数学教学论[M].北京：北京大学出版社，2014
